Matemática: Relação e Função

Conceitos fundamentais e exercícios para prática

Conceitos Fundamentais

O que é uma Relação Matemática?

Em matemática, uma relação é uma associação entre elementos de dois conjuntos. Formalmente, dados dois conjuntos A e B, uma relação R de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B.

Exemplo:

Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b}. Uma possível relação R de A em B seria: R = {(1, a), (2, b), (3, a)}

As relações podem ser representadas de várias formas: diagramas de Venn, tabelas, gráficos ou simplesmente listando os pares ordenados.

O que é uma Função?

Uma função é um tipo especial de relação onde cada elemento do conjunto de partida (domínio) está associado a exatamente um elemento do conjunto de chegada (contradomínio).

Exemplo:

f: A → B definida por f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a é uma função, pois cada elemento de A tem exatamente uma imagem em B.

Já g = {(1, a), (1, b), (2, a)} não é uma função, pois o elemento 1 tem duas imagens diferentes.

As funções são fundamentais em matemática e são representadas por equações, gráficos, tabelas ou diagramas. A notação mais comum é f(x) = expressão, onde x é a variável independente.

Diferenças entre Relação e Função

Característica	Relação	Função
Definição	Subconjunto de A × B	Relação especial com restrição
Elementos do domínio	Pode ter nenhuma ou várias imagens	Deve ter exatamente uma imagem
Notação	R: A → B	f: A → B

Exercícios de Fixação

Teste seus conhecimentos com questões no estilo ENEM

1. (ENEM) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}. Qual das seguintes relações de A em B representa uma função?

Resolução:

Para ser uma função, cada elemento do conjunto A deve ter exatamente uma imagem no conjunto B. Analisando as opções:

A) Não é função pois falta o elemento 3 do domínio.
B) Não é função pois o elemento 1 tem duas imagens (4 e 5).
C) É função pois cada elemento de A tem exatamente uma imagem em B.
D) Não é função pois o elemento 2 tem duas imagens (5 e 6).
E) Não é função pois faltam os elementos 1 e 3 do domínio.

Resposta correta: C

2. (ENEM) Dada a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x + 3, qual é o valor de f(5) – f(2)?

Resolução:

Primeiro calculamos f(5) e f(2):

f(5) = 2*5 + 3 = 10 + 3 = 13
f(2) = 2*2 + 3 = 4 + 3 = 7

Agora subtraímos: f(5) – f(2) = 13 – 7 = 6

Resposta correta: C

3. (ENEM) Qual dos seguintes diagramas representa uma função?

Resolução:

Para um diagrama representar uma função:

Todos os elementos do domínio devem ter exatamente uma seta saindo
Nenhum elemento do domínio pode ter mais de uma seta saindo
Elementos do contradomínio podem ter várias setas chegando ou nenhuma

Portanto, apenas a opção B satisfaz a definição de função.

Resposta correta: B

4. (ENEM) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}, quantas funções diferentes de A em B podem ser definidas?

Resolução:

Para cada elemento do domínio A, temos 3 opções de imagem no contradomínio B. Como há 3 elementos em A, o número total de funções possíveis é:

3 (para o elemento 1) × 3 (para o elemento 2) × 3 (para o elemento 3) = 3³ = 27

Resposta correta: D

5. (ENEM) Qual das seguintes relações de ℝ em ℝ NÃO representa uma função?

Resolução:

Para verificar se uma relação é função, cada valor de x deve corresponder a exatamente um valor de y. Analisando as opções:

A) y = 2x + 1 é função (reta)
B) y = x² é função (parábola)
C) y = √x é função (considerando apenas a raiz positiva)
D) x = y² NÃO é função pois para x > 0 há dois valores de y (positivo e negativo)
E) y = |x| é função (valor absoluto)

Resposta correta: D

6. (ENEM) Seja f uma função definida por f(x) = (x – 2)(x + 3). Quais são as raízes dessa função?

Resolução:

Para encontrar as raízes da função, devemos resolver f(x) = 0:

(x – 2)(x + 3) = 0

Pela propriedade do produto nulo, temos:

x – 2 = 0 ⇒ x = 2
x + 3 = 0 ⇒ x = -3

Portanto, as raízes são 2 e -3.

Resposta correta: A

7. (ENEM) Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 3x – 6. Qual é o valor de x para o qual f(x) = 0?

Resolução:

Para encontrar x quando f(x) = 0, resolvemos a equação:

3x – 6 = 0
3x = 6
x = 6/3
x = 2

Portanto, o valor de x é 2.

Resposta correta: D

8. (ENEM) Qual das seguintes afirmações sobre funções é FALSA?

Resolução:

Analisando as afirmações:

A) Verdadeiro: toda função é um tipo especial de relação
B) Verdadeiro: apenas as relações que associam cada elemento do domínio a exatamente um do contradomínio são funções
C) Verdadeiro: funções lineares têm gráficos que são retas
D) Verdadeiro: funções quadráticas têm gráficos que são parábolas
E) Falso: por definição, uma função não pode ter dois valores diferentes para o mesmo elemento do domínio

Resposta correta: E

9. (ENEM) Dada a função f(x) = x² – 4x + 3, qual é o valor de f(1) + f(2)?

Resolução:

Primeiro calculamos f(1) e f(2):

f(1) = (1)² – 4*(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0
f(2) = (2)² – 4*(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1

Agora somamos: f(1) + f(2) = 0 + (-1) = -1

Resposta correta: B

10. (ENEM) Qual é o domínio da função real definida por f(x) = √(x – 2)?

Resolução:

Para a função raiz quadrada real, o radicando deve ser não negativo:

x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

Portanto, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a 2.

Resposta correta: D