E-book: Razão e Proporção – Dominando os Conceitos e Aplicações
Introdução
Razão e proporção são conceitos fundamentais na matemática, amplamente aplicados em diversas áreas do conhecimento e em situações cotidianas. Desde a distribuição de quantidades em receitas culinárias até a análise de dados em pesquisas científicas, compreender esses conceitos é crucial para a resolução eficiente de problemas e a tomada de decisões corretas.
Neste e-book, exploraremos os conceitos de razão e proporção, suas propriedades e suas aplicações em problemas práticos, com ênfase na preparação para o ENEM. Abordaremos tópicos como a regra de três simples e composta, escalas e divisão proporcional, sempre acompanhados de exemplos, exercícios resolvidos e desafios propostos para reforçar o aprendizado.
Capítulo 1: Conceitos Básicos
1.1. Razão
A razão entre dois números a e b (com b ≠ 0) é o quociente entre eles, expresso na forma a/b ou a : b. O número a é chamado de antecedente, e o número b de consequente.
Exemplo:
A razão entre 12 e 4 é: 12/4 = 3 ou 12 : 4 = 3.
1.2. Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. Se a/b = c/d, então a, b, c e d formam uma proporção.
Exemplo:
2/4 = 5/10 é uma proporção, pois ambas as razões são iguais a 0,5.
Propriedade Fundamental da Proporção: Em uma proporção a/b = c/d, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: a * d = b * c.
Exemplo: Na proporção 2/4 = 5/10, temos: 2 * 10 = 4 * 5.
Capítulo 2: Aplicações da Razão e Proporção
2.1. Regra de Três Simples
Exemplo 1 (Grandezas diretamente proporcionais):
Se 3 cadernos custam R$ 15, quanto custam 5 cadernos?
Montar a proporção: 3/5 = 15/x Aplicar a propriedade fundamental: 3x = 75 Resolver a equação: x = 25 Resposta: 5 cadernos custam R$ 25.
Exemplo 2 (Grandezas inversamente proporcionais):
Se 4 operários constroem um muro em 12 dias, em quantos dias 6 operários construirão o mesmo muro?
Montar a proporção: 4/6 = x/12 Aplicar a propriedade fundamental: 4 * 12 = 6x Resolver a equação: x = 8 Resposta: 6 operários construirão o muro em 8 dias.
2.2. Regra de Três Composta
Exemplo:
Se 10 máquinas produzem 500 peças em 8 horas, quantas máquinas são necessárias para produzir 1000 peças em 6 horas?
Montar a proporção: 10/x = (500/1000) * (6/8) Aplicar a propriedade fundamental: 80 = 3x Resolver a equação: x = 26,67 Resposta: São necessárias aproximadamente 27 máquinas.
2.3. Escalas
Exemplo:
Um mapa tem escala 1:100.000. Se a distância entre duas cidades no mapa é de 5 cm, qual a distância real entre elas?
Montar a proporção: 1/100.000 = 5/x Aplicar a propriedade fundamental: x = 500.000 cm Converter para km: x = 5 km Resposta: A distância real entre as cidades é de 5 km.
2.4. Divisão Proporcional
Exemplo:
Dividir R$ 1200 entre três pessoas na razão de 2 : 3 : 5.
Somar as partes da razão: 2 + 3 + 5 = 10 Calcular o valor de cada parte: 1200 / 10 = 120 Multiplicar: Pessoa 1: 2 * 120 = R$ 240 Pessoa 2: 3 * 120 = R$ 360 Pessoa 3: 5 * 120 = R$ 600 Resposta: As pessoas receberão R$ 240, R$ 360 e R$ 600, respectivamente.
Capítulo 3: Exercícios Resolvidos
Exercício 1:
Um carro percorre 240 km com 20 litros de gasolina. Quantos quilômetros ele percorrerá com 35 litros?
Montar a proporção: 240/x = 20/35 Aplicar a propriedade fundamental: 20x = 240 * 35 Resolver a equação: x = 420 Resposta: O carro percorrerá 420 km.
Exercício 2:
Uma equipe de 5 pintores pinta uma casa em 12 dias. Em quantos dias 8 pintores pintariam a mesma casa?
Montar a proporção: 5/8 = x/12 Aplicar a propriedade fundamental: 5 * 12 = 8x Resolver a equação: x = 7,5 Resposta: 8 pintores pintariam a casa em 7,5 dias.
Exercício 3:
Um terreno retangular tem 15 m de comprimento e 12 m de largura. Qual a escala de um desenho desse terreno que mede 5 cm de comprimento e 4 cm de largura?
Montar a proporção para ambas as dimensões: Comprimento: 5 cm / 1500 cm = 1/300 Largura: 4 cm / 1200 cm = 1/300 Resposta: A escala do desenho é 1:300.
Capítulo 4: Exercícios para Praticar
- Exercício 1: Uma fábrica produz 12 itens por hora. Quantos itens produzirá em 8 horas?
- Exercício 2: Divida R$ 720 entre 4 pessoas na razão de 3:2:1:1.
- Exercício 3: Uma escola possui 120 alunos e precisa reorganizar a quantidade de turmas. Como fazer essa divisão se cada turma deve ter um número proporcional ao total de alunos?
- Exercício 4: Se 5 operários montam 15 máquinas em 3 dias, quantos operários são necessários para montar 20 máquinas em 2 dias?
- Exercício 5: Um mapa com escala 1:50.000 mostra uma distância de 7 cm entre dois pontos. Qual é a distância real entre eles?